内容简介
æœ¬ä¹¦æ ¹æ®æ±Ÿè‹çœæ™®é€šé«˜ç‰å¦æ ¡éžç†ç§‘ä¸“ä¸šé«˜ç‰æ•°å¦ç«žèµ›å§”å‘˜ä¼šåˆ¶è®¢çš„é«˜ç‰æ•°å¦ç«žèµ›å¤§çº²,å¹¶å‚ç…§æ•™è‚²éƒ¨åˆ¶è®¢çš„è€ƒç ”æ•°å¦è€ƒè¯•大纲编写而æˆ,内容分为æžé™ä¸Žè¿žç»ã€ä¸€å…ƒå‡½æ•°å¾®åˆ†å¦ã€ä¸€å…ƒå‡½æ•°ç§¯åˆ†å¦ã€å¤šå…ƒå‡½æ•°å¾®åˆ†å¦ã€å¤šå…ƒå‡½æ•°ç§¯åˆ†å¦ã€ç©ºé—´è§£æžå‡ 何ã€çº§æ•°ã€å¾®åˆ†æ–¹ç¨‹ç‰å…«ä¸ªä¸“题,æ¯ä¸ªä¸“题å«â€œåŸºæœ¬æ¦‚念与内容æè¦â€ã€â€œç«žèµ›é¢˜ä¸Žç²¾é€‰é¢˜è§£æžâ€ã€â€œç»ƒä¹ 题â€ä¸‰ä¸ªéƒ¨åˆ†ã€‚å…¶ä¸,竞赛题选自江è‹(1—12届)ã€åŒ—京(1—15届)ã€æµ™æ±Ÿ(1—10届)ã€å¹¿ä¸œã€é™•西ã€ä¸Šæµ·ã€å¤©æ´¥ç‰çœå¸‚大å¦ç”Ÿæ•°å¦ç«žèµ›è¯•题;全国大å¦ç”Ÿæ•°å¦ç«žèµ›è¯•题(1—5届åˆèµ›å’Œå†³èµ›);清åŽå¤§å¦ã€å—京大å¦ã€ä¸Šæµ·äº¤é€šå¤§å¦ç‰é«˜æ ¡å¤§å¦ç”Ÿæ•°å¦ç«žèµ›è¯•题;莫斯科大å¦ç‰å›½å¤–é«˜æ ¡å¤§å¦ç”Ÿæ•°å¦ç«žèµ›è¯•é¢˜ã€‚é«˜ç‰æ•°å¦ç«žèµ›èƒ½æ¿€åб大å¦ç”Ÿä»¬å¦ä¹ é«˜ç‰æ•°å¦çš„å…´è¶£,æ´»è·ƒæ€æƒ³ã€‚é«˜ç‰æ•°å¦ç«žèµ›è¯•é¢˜ä¸æ—¢å«åŸºæœ¬é¢˜,åˆå«å¾ˆå¤šå…·æœ‰è¾ƒé«˜æ°´å¹³å’Œè¾ƒå¤§éš¾åº¦çš„趣味题,这些题目构æ€ç»å¦™,æ–¹æ³•çµæ´»,技巧性强,æœ¬ä¹¦é€æ¡è§£æž,并对é‡è¦é¢˜ç›®æ·±å…¥åˆ†æž,总结解题方法与技巧。本书å¯ä¾›å‡†å¤‡æœ¬ç§‘é«˜ç‰æ•°å¦ç«žèµ›çš„è€å¸ˆå’Œå¦ç”Ÿä½œä¸ºåº”试教程,也å¯ä¾›å„类高ç‰å¦æ ¡çš„大å¦ç”Ÿä½œä¸ºå¦ä¹ é«˜ç‰æ•°å¦å’Œè€ƒç ”çš„å‚考书,特别有益于æˆç»©ä¼˜ç§€çš„大å¦ç”Ÿæé«˜é«˜ç‰æ•°å¦æ°´å¹³ã€‚ 目录 专题1 æžé™ä¸Žè¿žç»1 1î€1基本概念与内容æè¦1 1.1.1一元函数基本概念1 1.1.2数列的æžé™1 1.1.3函数的æžé™1 1.1.4è¯æ˜Žæ•°åˆ—或函数æžé™å˜åœ¨çš„æ–¹æ³•2 1.1.5æ— ç©·å°é‡2 1.1.6æ— ç©·å¤§é‡3 1.1.7求数列或函数的æžé™çš„æ–¹æ³•3 1.1.8å‡½æ•°çš„è¿žç»æ€§3 1î€2竞赛题与精选题解æž4 1.2.1求函数的表达å¼ï¼ˆä¾‹1î€1—1î€4)4 1.2.2利用四则è¿ç®—求æžé™ï¼ˆä¾‹1î€5—1î€18)6 1.2.3利用夹逼准则与å•调有界准则求æžé™ï¼ˆä¾‹1î€19—1î€28)13 1.2.4利用两个é‡è¦æžé™æ±‚æžé™ï¼ˆä¾‹1î€29—1î€32)19 1.2.5利用ç‰ä»·æ— ç©·å°å› åä»£æ¢æ±‚æžé™ï¼ˆä¾‹1î€33—1î€38)20 1.2.6æ— ç©·å°æ¯”è¾ƒä¸Žæ— ç©·å¤§æ¯”è¾ƒï¼ˆä¾‹1î€39—1î€42)22 1.2.7è¿žç»æ€§ä¸Žé—´æ–点(例1î€43—1î€49)23 1.2.8利用介值定ç†çš„è¯æ˜Žé¢˜ï¼ˆä¾‹1î€50—1î€54)25 ç»ƒä¹ é¢˜ä¸€28 专题2一元函数微分å¦30 2î€1基本概念与内容æè¦30 2.1.1导数的定义30 2.1.2å·¦ã€å³å¯¼æ•°çš„定义30 2.1.3微分概念30 2.1.4基本åˆç‰å‡½æ•°çš„导数公å¼31 2.1.5求导法则31 2.1.6高阶导数31 2.1.7微分ä¸å€¼å®šç†32 2.1.8æ³°å‹’å…¬å¼ä¸Žé©¬å…‹åŠ³æž—å…¬å¼32 2.1.9洛必达法则33 2.1.10å¯¼æ•°åœ¨å‡ ä½•ä¸Šçš„åº”ç”¨34 2î€2竞赛题与精选题解æž35 2.2.1利用导数的定义解题(例2î€1—2î€7)35 2.2.2利用求导法则解题(例2î€8—2î€15)38 2.2.3求高阶导数(例2î€16—2î€29)42 2.2.4与微分ä¸å€¼å®šç†æœ‰å…³çš„è¯æ˜Žé¢˜ï¼ˆä¾‹2î€30—2î€49)47 2.2.5马克劳林公å¼ä¸Žæ³°å‹’å…¬å¼çš„应用(例2î€50—2î€70)58 2.2.6利用洛必达法则求æžé™ï¼ˆä¾‹2î€71—2î€81)72 2.2.7å¯¼æ•°åœ¨å‡ ä½•ä¸Šçš„åº”ç”¨ï¼ˆä¾‹2î€82—2î€101)76 2.2.8ä¸ç‰å¼çš„è¯æ˜Ž(例2î€102—2î€113)86 ç»ƒä¹ é¢˜äºŒ93 专题3一元函数积分å¦96 3.1基本概念与内容æè¦96 3.1.1ä¸å®šç§¯åˆ†åŸºæœ¬æ¦‚念96 3.1.2基本积分公å¼96 3.1.3ä¸å®šç§¯åˆ†çš„计算97 3.1.4定积分基本概念98 3.1.5定积分ä¸å€¼å®šç†98 3.1.6å˜é™çš„定积分98 3.1.7定积分的计算99 3.1.8奇å¶å‡½æ•°ä¸Žå‘¨æœŸå‡½æ•°å®šç§¯åˆ†çš„æ€§è´¨99 3.1.9å®šç§¯åˆ†åœ¨å‡ ä½•ä¸Žç‰©ç†ä¸Šçš„应用99 3.1.10å常积分101 3.2竞赛题与精选题解æž102 3.2.1求原函数(例3.1—3.4)102 3.2.2求ä¸å®šç§¯åˆ†ï¼ˆä¾‹3.5—3.19)104 3.2.3利用定积分的定义求æžé™ï¼ˆä¾‹3.20—3.26)108 3.2.4应用积分ä¸å€¼å®šç†è§£é¢˜ï¼ˆä¾‹3.27—3.32)112 3.2.5å˜é™çš„定积分的应用(例3.33—3.48)115 3.2.6定积分的计算(例3.49—3.67)123 3.2.7å®šç§¯åˆ†åœ¨å‡ ä½•ä¸Žç‰©ç†ä¸Šçš„应用(例3.68—3.79)129 3.2.8积分ä¸ç‰å¼çš„è¯æ˜Žï¼ˆä¾‹3.80—3.107)137 3.2.9积分ç‰å¼çš„è¯æ˜Žï¼ˆä¾‹3.108—3.111)155 3.2.10å常积分(例3.112—3.120)158 ç»ƒä¹ é¢˜ä¸‰164 专题4多元函数微分å¦166 4î€1基本概念与内容æè¦166 4.1.1二元函数的æžé™ä¸Žè¿žç»æ€§166 4.1.2å导数与全微分166 4.1.3多元å¤åˆå‡½æ•°ä¸Žéšå‡½æ•°çš„å导数167 4.1.4高阶å导数169 4.1.5二元函数的æžå€¼169 4.1.6æ¡ä»¶æžå€¼169 4.1.7多元函数的最值171 4.2竞赛题与精选题解æž171 4.2.1求二元函数的æžé™ï¼ˆä¾‹4.1—4.2)171 4.2.2äºŒå…ƒå‡½æ•°çš„è¿žç»æ€§ã€å¯å导性与å¯å¾®æ€§ï¼ˆä¾‹4.3—4.8)172 4.2.3求多元å¤åˆå‡½æ•°ä¸Žéšå‡½æ•°çš„å导数(例4.9—4.20)174 4.2.4求高阶å导数(例4.21—4.30)179 4.2.5求二元函数的æžå€¼ï¼ˆä¾‹4.31—4.35)185 4.2.6求æ¡ä»¶æžå€¼ï¼ˆä¾‹4.36—4.39)189 4.2.7求多元函数在有界é—域上的最值(例4.40—4.41)191 ç»ƒä¹ é¢˜å››192 专题5多元函数积分å¦195 5î€1基本概念与内容æè¦195 5.1.1二é‡ç§¯åˆ†åŸºæœ¬æ¦‚念195 5.1.2二é‡ç§¯åˆ†çš„计算196 5.1.3交æ¢äºŒæ¬¡ç§¯åˆ†çš„æ¬¡åº197 5.1.4三é‡ç§¯åˆ†åŸºæœ¬æ¦‚念与计算197 5.1.5é‡ç§¯åˆ†çš„应用198 5.1.6曲线积分基本概念与计算199 5.1.7æ ¼æž—å…¬å¼201 5.1.8曲é¢ç§¯åˆ†åŸºæœ¬æ¦‚念与计算202 5.1.9斯托克斯公å¼204 5.1.10高斯公å¼205 5î€2竞赛题与精选题解æž205 5.2.1二é‡ç§¯åˆ†çš„计算(例5î€1—5î€16)205 5.2.2 交æ¢äºŒæ¬¡ç§¯åˆ†çš„æ¬¡åºï¼ˆä¾‹5î€17—5î€26)213 5.2.3三é‡ç§¯åˆ†çš„计算(例5î€27—5î€31)217 5.2.4与é‡ç§¯åˆ†æœ‰å…³çš„ä¸ç‰å¼çš„è¯æ˜Žï¼ˆä¾‹5î€32—5î€38)220 5.2.5曲线积分的计算(例5î€39—5î€44)225 5.2.6åº”ç”¨æ ¼æž—å…¬å¼è§£é¢˜ï¼ˆä¾‹5î€45—5î€55)229 5.2.7曲é¢ç§¯åˆ†çš„计算(例5î€56—5î€58)236 5.2.8应用斯托克斯公å¼è§£é¢˜ï¼ˆä¾‹5î€59—5î€60)238 5.2.9应用高斯公å¼è§£é¢˜ï¼ˆä¾‹5î€61—5î€67)240 5.2.10多元函数积分å¦çš„应用题(例5î€68—5î€77)245 ç»ƒä¹ é¢˜äº”250 专题6空间解æžå‡ 何254 6î€1基本概念与内容æè¦254 6.1.1å‘é‡çš„基本概念与å‘é‡çš„è¿ç®—254 6.1.2空间的平é¢255 6.1.3空间的直线255 6.1.4空间的曲é¢256 6.1.5空间的曲线257 6î€2竞赛题与精选题解æž258 6.2.1å‘é‡çš„è¿ç®—(例6î€1—6î€5)258 6.2.2空间平é¢çš„æ–¹ç¨‹ï¼ˆä¾‹6î€6—6î€9)259 6.2.3空间直线的方程(例6î€10—6î€15)261 6.2.4空间曲é¢çš„æ–¹ç¨‹ä¸Žç©ºé—´æ›²é¢çš„切平é¢ï¼ˆä¾‹6î€16—6î€26)262 6.2.5空间曲线的方程与空间曲线的切线(例6î€27—6î€32)268 ç»ƒä¹ é¢˜å…272 专题7级数274 7î€1基本概念与内容æè¦274 7.1.1æ•°é¡¹çº§æ•°çš„ä¸»è¦æ€§è´¨274 7.1.2æ£é¡¹çº§æ•°æ•›æ•£æ€§åˆ¤åˆ«æ³•274 7.1.3ä»»æ„项级数敛散性判别法275 7.1.4幂级数的收敛åŠå¾„ã€æ”¶æ•›åŸŸä¸Žå’Œå‡½æ•°275 7.1.5åˆç‰å‡½æ•°å…³äºŽx的幂级数展开å¼275 7.1.6å‚…æ°çº§æ•°276 7.2竞赛题与精选题解æž277 7.2.1判别æ£é¡¹çº§æ•°çš„æ•›æ•£æ€§ï¼ˆä¾‹7.1—7.16)277 7.2.2判别任æ„项级数的敛散性(例7.17—7.28)288 7.2.3求幂级数的收敛域与和函数(例7.29—7.46)294 7.2.4求数项级数的和(例7.47—7.54)305 7.2.5求åˆç‰å‡½æ•°å…³äºŽx的幂级数展开å¼ï¼ˆä¾‹7.55—7.61)309 7.2.6求函数的傅æ°çº§æ•°å±•å¼€å¼ï¼ˆä¾‹7.62)312 ç»ƒä¹ é¢˜ä¸ƒ313 专题8微分方程315 8.1基本概念与内容æè¦315 8.1.1微分方程的基本概念315 8.1.2一阶微分方程315 8.1.3二阶微分方程316 8.1.4微分方程的应用318 8.2竞赛题与精选题解æž318 8.2.1微分方程的特解(例8.1—8.3)318 8.2.2å˜é‡å¯åˆ†ç¦»æ–¹ç¨‹çš„应用题(例8.4—8.8)319 8.2.3齿¬¡å¾®åˆ†æ–¹ç¨‹çš„应用题(例8.9)322 8.2.4一阶线性微分方程的应用题(例8.10—8.12)323 8.2.5求解二阶线性微分方程(例8.13—8.20)325 8.2.6求解å¯åŒ–为二阶线性微分方程的微分方程(例8.21—8.22) 329 ç»ƒä¹ é¢˜å…«331 ç»ƒä¹ é¢˜ç”æ¡ˆä¸Žæç¤º332
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