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內(nèi)容提要 本書(shū)介紹實(shí)分析的基本理論.全書(shū)共分八章，內(nèi)容包括：集合與映射，拓?fù)淇臻g，測(cè)度空間，積分，Riesz表示定理與Borel測(cè)度的正則性，Lp空間，賦范線性空間初步理論和Hilbert空間初步理論.本書(shū)在選材上注重少而精，集中反映實(shí)分析的核心內(nèi)容.在內(nèi)容的敘述上，注意由淺入深，循序漸進(jìn).本書(shū)語(yǔ)言通俗易懂，推理嚴(yán)謹(jǐn)清晰，便于教學(xué)和自學(xué).書(shū)中各章配有例題和習(xí)題，可供讀者借鑒和練習(xí).本書(shū)可作為大學(xué)數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)碩士生一年級(jí)的教材，也可作為數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)本科生高年級(jí)選修課教材.同時(shí)，也可供需要分析數(shù)學(xué)較多的理工科研究生和大學(xué)教師、科研工作者參考. 前言 由于分析的思想在數(shù)學(xué)和其他科學(xué)分支的廣泛應(yīng)用，實(shí)分析普遍被選為數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)碩士研究生一年級(jí)的必修課.所謂“實(shí)分析”是指近現(xiàn)代數(shù)學(xué)中那些根植于經(jīng)典數(shù)學(xué)分析和實(shí)變函數(shù)的部分.目前，實(shí)分析已發(fā)展為包含多個(gè)專(zhuān)題的現(xiàn)代分析理論.由于應(yīng)用和偏好的不同，關(guān)于實(shí)分析的教材也呈現(xiàn)多種版本，不同形式.但是基本的內(nèi)容應(yīng)包括：經(jīng)典的實(shí)變函數(shù)本身，一般測(cè)度空間及其上的可測(cè)函數(shù)，抽象積分，拓?fù)淇臻g，拓?fù)渑c測(cè)度相結(jié)合所產(chǎn)生的理論，Lp空間，Hilbert空間和賦范線性空間等.由于實(shí)變函數(shù)已作為前期知識(shí)在本科階段學(xué)習(xí)過(guò)，故通常研究生的實(shí)分析教材不包括這一基礎(chǔ)部分.但是，在學(xué)習(xí)實(shí)分析的抽象理論時(shí)，我們會(huì)經(jīng)常聯(lián)系實(shí)變函數(shù)中相應(yīng)的結(jié)果；由此說(shuō)明實(shí)變函數(shù)理論是實(shí)分析理論的一個(gè)具體的經(jīng)典的例子，而實(shí)分析理論是實(shí)變函數(shù)理論的抽象化和一般化.那么，這種抽象化和一般化又有何意義呢？我們可通過(guò)它對(duì)其他學(xué)科的作用加以說(shuō)明.比如，概率空間，它顯然不是實(shí)變函數(shù)中Rk上的Lebesgue測(cè)度空間，但它是我們實(shí)分析討論的測(cè)度空間的一種，即全空間測(cè)度為1的測(cè)度空間.其實(shí)，在高等概率論中，隨機(jī)事件就是概率空間中的可測(cè)集，其發(fā)生的概率就是測(cè)度，隨機(jī)變量就是一個(gè)可測(cè)函數(shù)，而其數(shù)學(xué)期望就是它的積分.又如，局部緊群上的Haar測(cè)度，拓?fù)錅y(cè)度論和拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)等涉及的許多測(cè)度空間也常常不是Rk上的Lebesgue測(cè)度.所有這些內(nèi)容都是實(shí)變函數(shù)理論無(wú)法囊括的，而必須納入實(shí)分析的理論框架來(lái)研究.因而，從實(shí)變函數(shù)到實(shí)分析，并不是一個(gè)單純形式的推廣，而是具有豐富內(nèi)涵的開(kāi)拓.在有了拓?fù)淇臻g之后，自然就產(chǎn)生了連續(xù)函數(shù)空間、有界連續(xù)函數(shù)空間、具有緊支的連續(xù)函數(shù)空間及在無(wú)窮遠(yuǎn)處為0的連續(xù)函數(shù)空間等；在有了測(cè)度空間之后，自然就產(chǎn)生了可測(cè)函數(shù)空間、有界可測(cè)函數(shù)空間、可積函數(shù)空間及p次可積函數(shù)空間等.這些空間通常都是無(wú)限維線性空間.這樣，引入線性泛函分析的知識(shí)，如賦范線性空間、Hilbert空間的基本理論，自然成為可能與必要.因而，通常實(shí)分析的教材也將這部分內(nèi)容包括在內(nèi). W.Rudin所著《實(shí)分析與復(fù)分析》一書(shū)是國(guó)內(nèi)外大學(xué)廣泛使用的數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)研究生的基礎(chǔ)教材(以下，也稱(chēng)該書(shū)為原著).這是一本不可多得的好書(shū).學(xué)習(xí)并掌握該書(shū)的內(nèi)容，對(duì)于分析數(shù)學(xué)的理解將會(huì)登上一個(gè)新的臺(tái)階.多年來(lái)，我們一直采用該書(shū)的第1章到第5章作為教學(xué)的基本內(nèi)容.但是初學(xué)者直接閱讀該書(shū)，確實(shí)具有一定的困難.編者于1990年到2010年期間，曾擔(dān)任蘇州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院碩士研究生實(shí)分析課程的教學(xué)工作，深感需要根據(jù)實(shí)際情況，參照原著，編寫(xiě)一本內(nèi)容深入淺出、通俗易懂而又理論嚴(yán)謹(jǐn)，且反映現(xiàn)代分析數(shù)學(xué)思想和成果的教材，以適應(yīng)數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)研究生教學(xué)的需要.本書(shū)就是一個(gè)嘗試.它根據(jù)編者20年來(lái)積累的講稿和心得整理、修訂、充實(shí)而成.全書(shū)共分為八章，分別是：集合與映射，拓?fù)淇臻g，測(cè)度空間，積分，Riesz表示定理與Borel測(cè)度的正則性，Lp空間，賦范線性空間初步理論，Hilbert空間初步理論.比照原著，在內(nèi)容的選取和處理方面，本書(shū)作了如下一些嘗試. 一、
關(guān)于拓?fù)鋵W(xué)知識(shí)的介紹.在原著中，拓?fù)鋵W(xué)知識(shí)是分散在第1章和第2章各處出現(xiàn)的.這樣的安排有其特色，使學(xué)生對(duì)于拓?fù)鋵W(xué)的認(rèn)識(shí)和學(xué)習(xí)有一個(gè)逐步深入的過(guò)程.但缺點(diǎn)是理論不系統(tǒng)、不集中；在階段性給出的結(jié)論不全面、不深入.例如，在第1章講述連續(xù)映射時(shí)，由于未介紹閉集和網(wǎng)，故未能給出連續(xù)映射的閉集刻畫(huà)和網(wǎng)的刻畫(huà).本書(shū)專(zhuān)列一章“拓?fù)淇臻g”比較系統(tǒng)、全面地介紹拓?fù)鋵W(xué)的重要基礎(chǔ)知識(shí).這樣一方面，為以后各章節(jié)使用拓?fù)渲R(shí)提供了豐富的“倉(cāng)廩”；另一方面，拓?fù)鋵W(xué)知識(shí)本身對(duì)于提高學(xué)生的抽象分析能力和數(shù)學(xué)修養(yǎng)也具有重要意義. 二、
關(guān)于Urysohn引理的處理.在實(shí)分析中，通常Urysohn引理的敘述是專(zhuān)為證明Riesz表示定理而設(shè)的，而Riesz表示定理涉及的是局部緊Hausdorff拓?fù)淇臻g，故在那里，Urysohn引理是對(duì)局部緊Hausdorff拓?fù)淇臻g而言的.但是，在一般拓?fù)鋵W(xué)中，通常Urysohn引理是對(duì)正規(guī)空間而言的.原著文中敘述的Urysohn引理取第一種形式，而第2章習(xí)題中要求學(xué)生驗(yàn)證度量空間滿(mǎn)足Urysohn引理時(shí)，又指第二種形式.歷屆學(xué)生每遇到此問(wèn)題時(shí)，總感到困惑.本書(shū)給出Urysohn引理的一種推廣形式，它蘊(yùn)涵上述兩種不同形式的Urysohn引理；進(jìn)而說(shuō)明：雖然這些引理的形式不同，但實(shí)質(zhì)是相似的，故而都名之曰“Urysohn引理”. 三、
由Riesz表示定理導(dǎo)出Rk上Lebesgue測(cè)度的講法.原著中，這部分內(nèi)容由于追求自封閉性，避免直接使用數(shù)學(xué)分析中的Riemann積分，而是另起爐灶，在Rk中引入“胞腔”、“單元”、映射序列“Λn”,并進(jìn)而證明“Λn”具有極限映射“Λ”,此即定義于Cc(Rk)上的正線性泛函(注：Cc(Rk)指定義于Rk上具有緊支的連續(xù)函數(shù)空間).由于我們的學(xué)生對(duì)于這些術(shù)語(yǔ)并不熟悉，因而感到神秘而難懂，分散了學(xué)生的注意力，影響對(duì)于主線的理解.根據(jù)我們的學(xué)生對(duì)于Riemann積分的理解并無(wú)太大困難這樣的狀況，對(duì)于Rk上具有緊支的連續(xù)函數(shù)f，直接用Riemann積分來(lái)定義Λf:=∫Rkf(x)dx.這就獲得了Cc(Rk)上的正線性泛函：fΛf,f∈Cc(Rk).利用Riesz表示定理，由Λ可導(dǎo)出Rk上一個(gè)滿(mǎn)足諸多“好”的條件的完備的Borel測(cè)度(注：實(shí)分析書(shū)中的Borel測(cè)度不一定指Borel集族上的測(cè)度，而是指包含Borel集族的σ代數(shù)上的測(cè)度)，并證明這個(gè)完備的Borel測(cè)度即實(shí)變函數(shù)中Rk上的Lebesgue測(cè)度，同時(shí)也導(dǎo)出了Lebesgue積分.這樣處理簡(jiǎn)明扼要，突出主線，較易為學(xué)生接受.其實(shí)，在編者執(zhí)教實(shí)分析課程的早期，由于當(dāng)時(shí)課時(shí)比較充裕，上述構(gòu)造Riemann積分過(guò)程是詳細(xì)講述的；這對(duì)于理解Riemann積分的實(shí)質(zhì)很有幫助.但其嚴(yán)格而完整的證明需要較長(zhǎng)篇幅，建議作為課外講座或思考題. 四、
關(guān)于“賦范線性空間初步理論”的講述.本書(shū)注意滲透拓?fù)渚€性空間的思想方法，使證明抓住關(guān)鍵，揭示本質(zhì)，同時(shí)也便于以后將結(jié)論推廣到更廣一類(lèi)的拓?fù)渚€性空間上去. 由于篇幅所限，還有一些重要內(nèi)容未能收入本書(shū)中，如復(fù)測(cè)度(包括RadonNikodym定理及Lp(μ)上有界線性泛函的表示定理)、乘積空間上的積分(包括乘積測(cè)度及Fubini定理)等.故本書(shū)只能稱(chēng)為實(shí)分析的基礎(chǔ)或引論.應(yīng)當(dāng)指出，本書(shū)許多內(nèi)容取自Rudin的原著，當(dāng)然，經(jīng)過(guò)重新編排和改寫(xiě).此外，編者還參考了國(guó)內(nèi)外大量實(shí)分析、實(shí)變函數(shù)和泛函分析的教材、習(xí)題集和專(zhuān)著.本書(shū)的末尾只能列出其中一部分參考文獻(xiàn). 閱讀本書(shū)僅需數(shù)學(xué)分析知識(shí)和實(shí)變函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)(例如見(jiàn)：張建平，丘京輝編，實(shí)變函數(shù)(第二版)，東南大學(xué)出版社，2014年).全書(shū)各重要內(nèi)容的編排按三個(gè)系列進(jìn)行.以命題、引理、定理、推論為一個(gè)系列，編為：名稱(chēng)(章).(節(jié)).(序號(hào)).例如，第7章第2節(jié)的相關(guān)結(jié)論可編為：定理7.2.1、推論7.2.2、定理7.2.3、命題7.2.4等.以定義為一個(gè)系列，編為：定義(章).(節(jié)).(序號(hào)).例如，定義7.1.1指第7章第1節(jié)中第一個(gè)定義.以例為一個(gè)系列，編為：例(章).(節(jié)).(序號(hào)).例如，例7.3.1指第7章第3節(jié)中第一個(gè)例.此外，每章后都附有習(xí)題，供讀者練習(xí). 編者衷心感謝蘇州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院有關(guān)領(lǐng)導(dǎo)和同事及蘇州大學(xué)研究生院有關(guān)領(lǐng)導(dǎo)和同志；由于他們的推薦和支持，使編者獲得“蘇州大學(xué)研究生精品課程建設(shè)項(xiàng)目——實(shí)分析”的資助.本書(shū)也是該建設(shè)項(xiàng)目產(chǎn)生的成果之一.編者還要誠(chéng)摯感謝20年來(lái)歷屆研究生的支持和配合.我們師生同學(xué)，教學(xué)相長(zhǎng)，留下了美好難忘的記憶.東南大學(xué)出版社的張燁、史靜編輯為本書(shū)出版付出了辛勤的勞動(dòng)，編者一并在此表示誠(chéng)摯的感謝！ 由于編者水平所限，錯(cuò)誤和不妥之處在所難免，希望廣大師生、讀者和同行不吝指教. 編者于2016年3月 目錄 1集合與映射1 1.1集合及其運(yùn)算1 1.2映射4 1.3關(guān)系,偏序與等價(jià)5 1.4對(duì)等與基數(shù)6 1.5可數(shù)集9 1.6連續(xù)基數(shù)(或稱(chēng)連續(xù)統(tǒng)勢(shì))122拓?fù)淇臻g17 2.1拓?fù)淇臻g的概念17 2.2鄰域及相關(guān)概念20 2.3網(wǎng)22 2.4連續(xù)映射24 2.5緊空間與局部緊空間30 2.6推廣的Urysohn引理36 2.7緊空間的積,Tychonoff定理413測(cè)度空間45 3.1可測(cè)空間與可測(cè)映射45 3.2廣義實(shí)數(shù)的運(yùn)算,上極限與下極限53 3.3測(cè)度空間56 3.4按測(cè)度收斂與幾乎處處收斂634積分68 4.1正函數(shù)的積分68 4.2復(fù)函數(shù)的積分80 4.3零測(cè)集所起的作用875Riesz表示定理與Borel測(cè)度的正則性97 5.1線性空間,線性映射與線性泛函97 5.2Riesz表示定理99 5.3Borel測(cè)度的正則性108 5.4由Riesz表示定理導(dǎo)出Rn上Lebesgue測(cè)度111 5.5可測(cè)函數(shù)的連續(xù)性1156Lp空間121 6.1凸函數(shù)與不等式121 6.2Lp空間126 6.3連續(xù)函數(shù)逼近1357賦范線性空間初步理論141 7.1賦范線性空間的基本概念141 7.2Baire綱定理,共鳴定理,開(kāi)映射與閉圖定理145 7.3HahnBanach延拓定理1538Hilbert空間初步理論164 8.1內(nèi)積空間與Hilbert空間的基本概念164 8.2最小范數(shù)定理與正交分解定理167 8.3規(guī)范正交集172 8.4L2［0,2π］的規(guī)范正交基181 參考文獻(xiàn)188 符號(hào)集190 索引192 |
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