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1.前言 著名的德国数学家高斯曾说:“数学是科学的皇后”.人类的实践也已证明数学是所有科学的共同“语言”，是学习所有自然科学的“钥匙”，而数学素养更是成为衡量一个国家科技水平的重要标志.独立学院文、理科线性代数课程是培养高素质应用型人才的重要的必修课，我们编写该课程教材的立足点就是基础与应用并重，以提高学生数学素养为根本目标. 在基础与应用并重的思想指导下，我们编写了线性代数课程的教学大纲，设计了课时安排，教材编写与教学实践密切结合，并多次修改力求完善.在编写过程中,我们努力做到: (1)
在深度和广度上符合教育部审定的“高等院校非数学专业线性代数课程教学基本要求”,并参照教育部考试中心颁发的《全国硕士研究生招生考试数学考试大纲》数学一与数学三中线性代数的知识范围.在独立学院中,有不少学生是因为高考发挥失常而没有考上理想的高校，进入独立学院后,他们发奋努力，立志考研.我们编写教材时,在广度上尽可能达到考研的知识范围. (2)
注重数学的思想和方法,适当地渗透现代数学思想，并运用部分近代数学的术语与符号，以求符合独立学院培养高素质的具有创新精神的应用型人才的目标.教材除了要使学生获得线性代数的基本概念、基本理论和基本方法,还要让学生受到一定的科学训练,学到数学思想方法,为其学习后继课程提供必要的数学基础，并为其毕业后胜任工作或继续深造积累潜在的能力. (3) 通过教学研究,将一些经典定理、公式的结论或证明加以更新与优化.如此，既改革了教学内容,又丰富了线性代数的内涵. 我们的目标是全书结构严谨,难易适度,语言简洁,既适合培养目标,又贴近教学实际,便于教与学. 本书包含行列式、矩阵、向量空间、线性方程组、特征值问题、欧氏空间、二次型、线性空间与线性变换简介等八章.对数学要求较高的理工类、经管类专业,如电子、电气、计算机、经管、金融等，本书可用一个学期讲授,每周4学时；其他专业，如土木、地质、化工等，可依实际安排的学时数选讲线性代数的基本内容(如略去基变换与坐标变换、二次型等).本书在附录部分提供了线性代数课程的教学课时安排建议，供授课老师参考. 书中用*标出的部分为较难内容，供任课教师选用(一般留给学生课外自学).书中习题分A,B两组，A组为基本要求，B组为较高要求；除第8章外，每一章末有复习题,供学有余力的学生练习.书末附有习题答案与提示. 本书由陈仲、王培、林小围编著,陈仲写第1,4,8章,王培写第3,5,6章,林小围写第2,7章. 感谢金陵学院教务处和基础教学部对编者的关心,感谢钱钟教授、王均义教授、黄卫华教授和王建民主任对编者的支持,感谢范克新、邓建平、袁明霞、马荣、章丽霞、魏云峰、邵宝刚等老师使用本书讲授线性代数课程，并给编者提供宝贵的修改建议.感谢东南大学出版社吉雄飞编辑的认真负责和悉心编校，使本书质量大有提高. 书中不足与错误难免,敬请智者不吝赐教. 陈仲 2018年1月于南京大学 2.目录 1行列式1 1.1行列式基本概念1 1.1.1n阶行列式的定义1 1.1.2行列式的性质5 习题1.19 1.2行列式的计算9 1.2.1拉普拉斯展开定理9 1.2.2行列式计算举例10 习题1.215 复习题117 2矩阵18 2.1矩阵基本概念18 2.1.1矩阵的定义18 2.1.2常用的特殊矩阵18 2.1.3矩阵的线性运算20 2.1.4矩阵的乘法21 2.1.5分块矩阵24 习题2.129 2.2初等变换与初等矩阵30 2.2.1矩阵的初等变换30 2.2.2矩阵的阶梯形31 2.2.3初等矩阵33 2.2.4初等变换与初等矩阵的联系34 2.2.5矩阵的行列式35 习题2.237 2.3逆矩阵39 2.3.1可逆矩阵与逆矩阵39 2.3.2克莱姆法则44 2.3.3用初等行变换求逆矩阵与方程组的唯一解46 习题2.349 复习题250 3向量空间52 3.1向量空间基本概念52 3.1.1向量空间的定义52 3.1.2子空间53 习题3.153 3.2向量组的线性相关性54 3.2.1向量组线性相关与线性无关的定义54 3.2.2线性相关与线性无关向量组的性质57 习题3.260 3.3向量组的秩61 3.3.1向量组的极大无关组61 3.3.2向量组的等价64 3.3.3向量组秩的定义与性质66 习题3.367 3.4矩阵的秩68 3.4.1矩阵秩的定义68 3.4.2用初等行变换求矩阵的秩69 3.4.3矩阵的行秩与列秩70 3.4.4矩阵的和秩71 3.4.5矩阵的积秩71 习题3.473 3.5向量空间的基·基变换·坐标变换75 3.5.1向量空间的基与维数75 3.5.2向量的坐标76 3.5.3基变换与坐标变换77 3.5.4用初等行变换求过渡矩阵与向量的坐标78 习题3.580 复习题381 4线性方程组82 4.1线性方程组解的属性82 4.1.1线性方程组的初等变换82 4.1.2线性方程组解的性质83 4.1.3线性齐次方程组解的属性83 4.1.4线性非齐次方程组解的属性85 习题4.188 4.2线性方程组的通解90 4.2.1线性齐次方程组的基础解系90 4.2.2线性齐次方程组的通解91 4.2.3线性非齐次方程组的通解94 习题4.299 复习题4101 5特征值问题103 5.1特征值与特征向量103 5.1.1特征值与特征向量的定义103 5.1.2特征值与特征向量的求法103 5.1.3特征值与特征向量的性质107 习题5.1111 5.2矩阵的相似对角化113 5.2.1相似矩阵113 5.2.2矩阵相似对角化的定义114 5.2.3矩阵可相似对角化的条件114 5.2.4矩阵相似对角化的步骤117 习题5.2122 复习题5123 6欧氏空间124 6.1欧氏空间基本概念124 6.1.1向量的内积124 6.1.2欧氏空间与度量矩阵124 6.1.3向量的模与两向量的夹角127 习题6.1130 6.2正交矩阵130 6.2.1正交矩阵基本概念130 6.2.2施密特正交规范化方法132 习题6.2136 6.3矩阵的正交相似对角化137 6.3.1矩阵正交相似对角化的定义137 6.3.2实对称矩阵的特征值与特征向量137 6.3.3实对称矩阵可正交相似对角化138 6.3.4实对称矩阵正交相似对角化的步骤139 习题6.3142 复习题6143 7二次型144 7.1二次型基本概念144 7.1.1二次型的矩阵表示144 7.1.2二次型的等价146 习题7.1146 7.2矩阵的合同对角化147 7.2.1合同矩阵147 7.2.2矩阵合同对角化的定义148 7.2.3对称矩阵可合同对角化148 *7.2.4用初等变换将对称矩阵合同对角化150 7.2.5矩阵正交合同对角化的定义151 7.2.6实对称矩阵可正交合同对角化151 习题7.2152 7.3二次型的标准形152 7.3.1二次型的标准形与规范形152 7.3.2通过配方化实二次型为标准形156 7.3.3通过正交变换化实二次型为标准形157 *7.3.4通过初等变换化实二次型为标准形159 7.3.5惯性定理160 7.3.6二次曲面类型的判别162 习题7.3162 7.4正定二次型与正定矩阵164 7.4.1二次型的分类164 7.4.2正定二次型与正定矩阵的判别法164 习题7.4168 复习题7169 *8线性空间与线性变换简介170 8.1线性空间的基本概念170 8.1.1线性空间的例子170 8.1.2线性空间的同构171 习题8.1174 8.2线性变换的基本概念174 8.2.1线性变换的定义174 8.2.2线性变换的像与核175 8.2.3线性变换在基下的矩阵177 8.2.4线性变换在不同基下矩阵的关系180 习题8.2182 习题答案与提示184 附录《线性代数》教学课时安排建议210 |
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